La aritmética de Trachtenberg

Así como Viktor Emil Frankl desarrollo la logoterapia para superar los rigores de los campos de concentración Nazi, Jakow Trachtenberg ocupo su mente en desarrollar un sistema de aritmética mental al verse en la misma situación.

El sistema Trachtenberg de rápido cálculo mental, similar a las matemáticas Védicas, consiste en un conjunto de patrones para realizar operaciones aritméticas. Los algoritmos más importantes son multiplicación,división, y adición. El método también incluye algoritmos especializados para realizar multiplicaciones por números entre 5 y 13.

Multiplicación por 11

Abusando de la notación

(11)a = 11Σa_i10ⁱ =

a_n10ⁿ⁺¹ + [Σ_j=0^n-1(a_j+a_j+1)10^j ]+ a₀

Multiplicación por 12

(12)a = 12Σa_i10ⁱ =

a_n10ⁿ⁺¹ + [Σ_j=0^n-1 (a_j+2a_j+1)10^j ]+ 2a₀

Multiplicación por 6

Definiendo

b_j = a_j/2, donde / denota división entera

c_j = a_j mod 2

tenemos

a_j = 2b_j + c_j

(6)a = (10/2)Σa_i10ⁱ  + Σa_i10ⁱ =

Σb_i10ⁱ⁺¹ + Σ(a_i + 5c_i)10ⁱ

b_n10ⁿ⁺¹ + [Σ_j=1ⁿ(a_j + 5c_j + b_j-1)10^j ]+ (a₀ + 5c₀)

Expresando el algoritmo en python:

def x6(number):
	previous = 0
	result = 0
	power_of_10 = 1
	while (number):
		digit = number%10
		odd_term = 5 if digit%2 else 0
		result = 
                (digit + odd_term + previous ) * 
		power_of_10 + result
		previous = digit//2
		power_of_10 *= 10
		number = number // 10
	result = previous * power_of_10 + result
	return result

Multiplicación por 7

De manera similar al caso anterior:

a_j = 2b_j + c_j

(7)a = (10/2)Σa_i10ⁱ  + Σ2a_i10ⁱ =

Σb_i10ⁱ⁺¹ + Σ(2a_i + 5c_i)10ⁱ

b_n10ⁿ⁺¹ + [Σ_j=1ⁿ(2a_j + 5c_j + b_j-1)10^j ]+ (a₀ + 5c₀)

Expresando el algoritmo en python:

def x7(number):
	previous = 0
	result = 0
	power_of_10 = 1
	while (number):
		digit = number%10
		odd_term = 5 if digit%2 else 0
		result = 
                (2*digit + odd_term + previous ) * 
		power_of_10 + result
		previous = digit//2
		power_of_10 *= 10
		number = number // 10
	result = previous * power_of_10 + result
	return result

Multiplicación por 5

De manera similar al caso anterior:

a_j = 2b_j + c_j

(5)a = (10/2)Σa_i10ⁱ   =

Σb_i10ⁱ⁺¹ + Σ(5c_i)10ⁱ

b_n 10ⁿ⁺¹ + [Σ_j=1ⁿ(5c_j + b_j-1)10^j ]+ (5c₀)

Expresando el algoritmo en python:

def x5(number):
	previous = 0
	result = 0
	power_of_10 = 1
	while (number):
		digit = number%10
		odd_term = 5 if digit%2 else 0
		result = 
                (odd_term + previous ) * 
		power_of_10 + result
		previous = digit//2
		power_of_10 *= 10
		number = number // 10
	result = previous * power_of_10 + result
	return result

Multiplicación por 9

Definiendo

b = 10ⁿ⁺¹ - Σ_j=0ⁿa_j , o sea el complemento a 10 de a

tenemos

(9)a = 10a –a =

10a –a + b – b =

10a + b - 10ⁿ⁺¹ =

(a_n – 1)10ⁿ⁺¹ + [Σ_j=1ⁿ(b_j + a_j-1)10^j ]+ (b₀ )

Expresando el algoritmo en python:

def x9(number):
	previous = number%10
	result = 10 - previous
	power_of_10 = 10
	number = number // 10
	while (number):
		digit = number%10
		result = 
                (9 - digit + previous ) * 
                power_of_10 + result
		previous = digit
		power_of_10 *= 10
		number = number // 10
	result = 
        (previous-1) * power_of_10 + 
        result
	return result

Multiplicación por 8

Definiendo

b = 10ⁿ⁺¹ - Σ_j=0ⁿa_j , o sea el complemento a 10 de a

tenemos

(8)a = 10a –2a =

10a –2a +2 b – 2b =

10a + 2b – (2)10ⁿ⁺¹ =

(a_n – 2)10ⁿ⁺¹ + [Σ_j=1ⁿ(2b_j + a_j-1)10^j ]+ (2b₀ )

Expresando el algoritmo en python:

def x8(number):
	previous = number%10
	result = 2*(10 - previous)
	power_of_10 = 10
	number = number // 10
	while (number):
		digit = number%10
		result = 
		(2*(9 - digit) + previous ) * 
                power_of_10 + result
		previous = digit
		power_of_10 *= 10
		number = number // 10
	result = 
        (previous-2) * 
        power_of_10 + result
	return result

Multiplicación por 3 y por 4

Los algoritmos para multiplicar por 3 y por 4 combinan las ideas usadas en la multiplicación por 5 y por 9.

Definiendo

b = 10ⁿ⁺¹ - Σ_j=0ⁿa_j , o sea el complemento a 10 de a

a_i = 2c_i + d_i, donde

c_i = a_i/2

d_i = a_i mod 2

tenemos

(4)a = 5a –a =

10c + 5d + b - 10n+1

(3)a = 5a –2a =

10c + + 5d + 2b – (2)10ⁿ⁺¹

Expresando los algoritmos en python:

def x3(number):
	digit = number%10
	result = 2*(10 - digit)
	if digit % 2:
		result += 5
	previous = digit // 2
	power_of_10 = 10
	number = number // 10
	while (number):
		digit = number%10
		odd_term = 5 if digit%2 else 0
		result +=(2*(9 - digit) + odd_term + previous ) * power_of_10
		previous = digit//2
		power_of_10 *= 10
		number = number // 10
	result = (previous-2) * power_of_10 + result
	return result

def x4(number):
	digit = number%10
	result = (10 - digit)
	if digit % 2:
		result += 5
	previous = digit // 2
	power_of_10 = 10
	number = number // 10
	while (number):
		digit = number%10
		odd_term = 5 if digit%2 else 0
		result +=((9 - digit) + odd_term + previous ) * power_of_10
		previous = digit//2
		power_of_10 *= 10
		number = number // 10
	result = (previous-1) * power_of_10 + result
	return result	

Referencias

• The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics



• http://en.wikipedia.org/wiki/Trachtenberg_system