2020-07-23

Alternativas matemáticas





Lex Fridman es un ruso profesor del MIT que tiene un canal de YouTube (https://www.youtube.com/channel/UCSHZKyawb77ixDdsGog4iWA ), Artificial Intelligence podcast, donde entrevista a los grandes de la tecnología de información. El 7 de enero de 2020, Lex entrevisto a Grant Sanderson, creador de 3Blue1Brown, un popular canal de YouTube ( https://www.youtube.com/3Blue1Brown ), que utiliza sofisticadas y elegantes visualizaciones animadas para explicar conceptos de matemáticas y sus aplicaciones en ciencia, tecnología, y sociedad.

Los dos comentarios de Sanderson que me quedaron de la entrevista fue la importancia de la notación matemática en el pensamiento científico mismo, y la caracterización de la visualización como una manera de hacer concreto un concepto abstracto.

Aunque no es un ejemplo manejado por Sanderson, en cuanto a la notación y su interrelación con los marcos conceptuales, tenemos el importante ejemplo histórico de las diferencias de enfoque al cálculo de Newton y Leibniz (http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte4/Cap15/Parte04_15.htm ).

Tanto Newton como Leibniz redujeron los problemas del cálculo de áreas, segmentos, volúmenes, a procesos de anti-derivación. Sin embargo, mientras que Leibniz se centraba en los incrementos infinitesimales, Newton usaba sus infinitesimales en la derivada misma. En Newton los infinitesimales estaban asociados directamente al cálculo de velocidades instantáneas (un claro sentido de aplicación física). En Leibniz el interés no era la aplicación física, sino los infinitesimales como entes primarios en la descripción de lo real. El énfasis de Newton era la razón de cambio, mientras que en Leibniz lo era la suma infinita de infinitesimales. Mientras que para Leibniz la notación era muy importante, Newton no le prestó mucho cuidado.

Básicamente la notación matemática, o de cualquier disciplina, para el caso, y la teoría subyacente proporciona un lenguaje común que permite a los conocedores de un tema intercambiar información de una manera eficiente. Richard Feynman cuenta en una de sus anécdotas que cuando estaba en la preparatoria, desarrollo su propia notación matemática, pero que la abandono porque era una perdida de tiempo al tener que explicarle a otro cualquier cosa. La notación debe ser una convención universal para ser útil.

Otro ejemplo, nos lo David Bennett que se plantea la pregunta de que si Los Beatles sabían teoría musical. En entrevistas los mismos Beatles reconocen que ni siquiera podían leer partituras, y aunque su talento musical es incuestionable, necesitaban alguien que tradujera sus ideas a la notación musical convencional. Ese alguien fue George Martin (https://en.wikipedia.org/wiki/George_Martin ) Martin preparación formal lleno el vacío entre el talento bruto de los Beatles y el sofisticado sonido que los distingue de todos los demás. La mayoría de los arreglos orquestales e instrumentación fue escrita o realizado por Martin.



Cuando la notación esta fuertemente establecida, las nociones teóricas en que se basa se olvidan, y se manejan solo de manera implícita. Por ejemplo, aprovechando que 1 + 4 = 5, un bromista travieso nos puede mostrar con las tres operaciones de suma, multiplicación, y división que 5 por 14 es igual a 25. Para una demostración pueden ver una plática del argentino Adrián Paenza sobre el pensamiento crítico y las matemáticas para la vida real.




Una variación del mismo tema es la premisa de un corto sobre una crisis mediática que se desata cuando un niño responde en un examen que 2 más 2 es igual a 22 (https://www.boredteachers.com/trending/short-film-shows-sad-reality-teachers-actually-have-to-deal-with ).



Volviendo con Grant Sanderson, el tema básico es como o porque la gente se interesa o involucra con las matemáticas. Lex le pregunto a Sanderson que ha quien dirigía sus videos. Sanderson dijo que su motivación primaria es satisfacer una curiosidad intelectual propia, que en principio hacia los videos para él mismo tener un conocimiento más profundo, y que, aunque buscaba que el material publicado fuera atractivo para las masas, que era en realidad muy difícil predecir qué tan exitoso será un video. En una plática en TED, Sanderson lista sus 4 videos más populares:
  1.  The hardest problem in the hardest test. Un video sobre un problema de geometría en espacio tridimensional sobre la relación entre cuatro puntos en una esfera y el centro de la esfera.
  2. But what is a Neural Network? | Deep learning, chapter 1. Una introducción a redes neurales.
  3. The most unexpected answer to a counting puzzle. Un resultado de la dinámica que relaciona el número de colisiones entre dos bloques y el número π.
  4. But what is the Fourier Transform? A visual introduction. Una introducción bastante creativa a la transformada de Fourier.


Sanderson señala que una de las objeciones al estudio de las matemáticas es que la gente siente que el tema esta desconectado de su realidad cotidiana. Sin embargo, de los cuatro videos más populares, solo el tema de las redes neurales se pudiera considerar de alguna relevancia práctica.
Sanderson especula que el elemento de drama e historia subyacente, la intriga del acertijo, la fantasía de imaginarse entre los de mayor rendimiento, es lo que al final del día involucra los temas matemáticos.
Sanderson cierra con unas referencias de Hardy sobre la belleza de las matemáticas puras y el valor adicional de que no sean útiles. Pero Sanderson anota que las matemáticas más abstractas terminan siendo útiles. Hardy usa como ejemplo de matemáticas sin uso aparente posible, la teoría de números, que en siglo veintiuno es la base de la criptografía, componente esencial de la tecnología informática.
















Veinticinco entre cinco es catorce




https://www.pleacher.com/mp/mhumor/abcost.html

Abbot y Costello


Abbott y Costello hicieron de las travesuras aritméticas la base
de varios de sus diálogos cómicos (https://allthecalculations.wordpress.com/2014/04/09/the-abbott-and-costello-math-method/ ).

Diálogo de la película Buck Privates:


Abbot: Tienes 40 años y estás enamorado de una niña, digamos de 10 años. Eres cuatro veces mayor que esa chica. No podrías casarte con esa chica, ¿verdad? Entonces esperas 5 años. Ahora la niña tiene 15 años y tú tienes 45. Solo tienes tres veces la edad de esa chica. Entonces esperas 15 años más. Ahora la niña tiene 30 años y tú tienes 60. Solo tienes el doble de edad que esa niña. Aquí está la pregunta. ¿Cuánto tiempo tienes que esperar antes de tú y ella tengan la misma edad?

Costello: ¿Qué tipo de pregunta es esa? Eso es ridículo.
Si sigo esperando ella terminará más vieja que yo.
¡Entonces ella tendrá que esperarme!

El prestamo


Abbott: Hazme un favor. Préstame $ 50.
Costello: No puedo prestarte $ 50. Todo lo que tengo es $ 40.
Abbott: está bien. Dame los $ 40 y me deberás $ 10.
Costello: ¿Cómo es que te debo $ 10?
Abbott: ¿Qué te pedí?
Costello: $ 50.
Abbott: ¿Qué me diste?
Costello; $ 40.
Abbott: Entonces me debes $ 10.
Costello: Eso es correcto. Pero me debes 40 dólares. Devuélveme mis $ 40.
Abbott: Ahí están tus $ 40. Ahora dame los $ 10 que me debes.
Esa es la última vez que le pido un préstamo de $ 50.
Costello: ¿Cómo puedo prestarle $ 50 ahora? Todo lo que tengo es $ 30.
Abbott: Dame los $ 30 y me deberás $ 20.
Costello: Esto está empeorando todo el tiempo.
¡Primero te debo $ 10, y ahora te debo $ 20!
Abbott: Entonces me debes $ 20. Veinte y 30 son 50.
Costello; No! Veinticinco y 25 es 50.
Abbott: Aquí están tus $ 30. Devuélveme mis $ 20.
Costello: ¡Todo lo que tengo ahora es $ 10!

Juego de números.


Abbott: Toma un número, cualquier número del 1 al 10, y no me digas.
Costello: lo tengo.
Abbott: ¿Es el número par o impar?
Costello: Par.
Abbott: ¿Es el número entre 1 y 3?
Costello: No.
Abbott: ¿Entre 3 y 5?
Costello: No. Creo que lo tengo.
Abbott: ¿Entre 5 y 7?
Costello: si.
Abbott: ¿Número seis?
Costello: bien. . . . ¿Como el hizo eso?

7 por 13 es igual a 28




https://www.onlinemathlearning.com/funny-math-proofs.html

$1 = 1 cent


$1 = 100 cents
= (10 cents)2
= ($0.1)2
= $0.01
= 1c

0 = 1




2019-09-23

Un auténtico tigre

El fallecimiento del Ingeniero y maestro de la Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica (FIME), René Mario Montante Pardo, consternó a los directivos y alumnos de la Universidad Autónoma de Nuevo León, al confirmarse su muerte el día 22 de septiembre de 2019.

Montante Pardo se distinguió como docente de FIME por el desarrollo de un algoritmo del álgebra lineal para determinar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales utilizado para la resolución de matrices con números enteros y que es conocido internacionalmente como "Método Montante".

Fue en 1973 cuando Montante desarrolló este algoritmo cuando los cálculos en los cursos universitarios se tenían que hacer a mano, con el apoyo de la regla de cálculo. En esa época no había ni siquiera calculadoras portátiles, y las computadoras estaban restringidas a unas cuantas en todo el mundo. La HP-35, la calculadora científica de bolsillo original estuvo disponible de 1971 a 1975 y valía del orden de 100 dólares, muy fuera de la capacidad adquisitiva del típico estudiante de una universidad publica mexicana de los setentas.

Montante --- con la motivación docente de explicar el álgebra matricial de una manera que fuera fácil para los alumnos de entender y ejecutar--- desarrollo un método grafico que utilizaba hasta el cálculo final solo números enteros. El proceso del cual nació el Método Montante, fue desarrollado en el año de 1973 y fue publicado en 1976 una vez que se había utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Montante cursó la escuela primaria en Monterrey, primero en el Colegio México y, después a los 15 años en la Escuela Industrial y Preparatoria Técnica "Álvaro Obregón" donde estudió Técnico Mecánico, llamado Maestro Mecánico. En 1953 regresó a la escuela Álvaro Obregón a la preparatoria tras un año de trabajo en Talleres Industriales, donde vio que a los ingenieros se les pagaba mejor. Durante su estadía en la preparatoria, jugó durante un año con los Bulldog. En 1955 ingresó en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la UANL para estudiar ingeniería mecánica. En 1959 se graduó, y trabajó de 1960 a 1961 en la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey. Después fue a trabajar a Estados Unidos hasta 1963, año en que regresó a Monterrey y a la UANL para ingresar en la carrera de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas (UANL), carrera de la cual se graduó en 1966. Desde 1965 comenzó a dar clases en FIME en la UANL, hasta el año 2001, en el cual se jubiló.

En el mundo hispanohablante el procedimiento de Montante es conocido como el Método Bareiss-Montante, llamado así por sus dos descubridores, René Mario Montante Pardo y Erwin H. Bareiss. Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices inversas, matrices de adjuntos y determinantes.
La característica principal del algoritmo de Montante es que trabaja con enteros, lo cual simplifica los cálculos manuales y evita aproximaciones y redondeos en programas ejecutados con computadora. 

Aunque al parecer Montante lo redescubrió en sus estudios, un método idéntico ya había sido publicado en la literatura por el matemático Erwin H. Bareiss, quien en 1968 publicó un documento titulado "Sylvester's Identity and Multistep Integer Preserving Gaussian Elimination" en donde se describe como resolver matrices con números enteros.

El artículo de Wikipedia titulado Bareiss algorithm dice:

In mathematics, the Bareiss algorithm, named after Erwin Bareiss, is an algorithm to calculate the determinant or the echelon form of a matrix with integer entries using only integer arithmetic; any divisions that are performed are guaranteed to be exact (there is no remainder). The method can also be used to compute the determinant of matrices with (approximated) real entries, avoiding the introduction any round-off errors beyond those already present in the input.
The general Bareiss algorithm is distinct from the Bareiss algorithm for Toeplitz matrices.
In some Spanish-speaking countries, this algorithm is also known as Bareiss-Montante, because of René Mario Montante Pardo, a professor of the Universidad Autónoma de Nuevo León, Mexico, that popularized the method among his students.

Los editores de Wikipedia me dejan con cara de what. Montante no popularizo el algoritmo de Bareiss, sino que de manera independiente desarrollo un método para enseñar álgebra matricial en una época en que los cálculos solo se podían hacer a mano. La Wikipedia en español concede, probablemente a regañadientes, que:

Debido a que dicho estudio no fue muy difundido, en gran parte de Latinoamérica se conoce como Montante, aunque correctamente debería ser Bareiss-Montante. 

El método consiste en ir "pivoteando" en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo, el renglón donde está el pivote va a ser el renglón base de todo el sistema y la columna donde está el pivote va a ser la columna base. Con respecto a ese renglón y esa columna, donde está el pivote, se forman determinantes de dos por dos, y siempre se trabaja con números enteros, si apareciera alguna fracción hay un error.

alere flammam veritatis

Referencias


Redacción ABC. (23 de septiembre de 2019). Fallece el Ingeniero Montante Pardo de FIME. Obtenido de ABC Noticias: https://www.abcnoticias.mx/fallece-el-ingeniero-montante-pardo-de-fime/146470

Wikipedia. (23 de septiembre de 2019). Bareiss algorithm. Obtenido de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Bareiss_algorithm

Wikipedia. (21 de septiembre de 2019). HP-35. Obtenido de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/HP-35

Wikipedia. (23 de septiembre de 2019). Método Montante. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_Montante

Wikipedia. (23 de septiembre de 2019). René Mario Montante Pardo. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Mario_Montante_Pardo


2019-09-19

Números mágicos

I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavourable omen. "No," he replied, "it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways."

British mathematician G. H. Hardy when he visited Indian mathematician Srinivasa Ramanujan

1729 es conocido como el número Hardy - Ramanujan, por una anécdota del matemático británico G. H. Hardy cuando visitó al matemático indio Srinivasa Ramanujan en el hospital.


1089 se usa ampliamente en trucos de magia porque se puede "producir" a partir de dos números de tres dígitos. Esto permite usarlo como base para la elección del mago. Por ejemplo, una variación es la prueba del libro, que comienza haciendo que el espectador elija uno de los dos números adecuados y luego aplique un número de operaciones básicas para producir un solo número de cuatro dígitos. Ese número siempre es 1089. El mago ha memorizado un pasaje de un libro y le pide al espectador que lea la novena palabra de la página 108.

  1. Elige un número de tres cifras. Las tres cifras tienen que ser diferentes, por ejemplo 123 
  2.  Dale la vuelta al número. 123 se convierte 321
  3. Resta el número más pequeño del más grande. 321 - 123 = 198 
  4. Toma la respuesta y dale la vuelta. 198 se convierte en 891
  5. Suma ese número a la respuesta que sacamos de la resta. 891 + 198 = 1089
¡La respuesta será 1089!

6174 parece un número cualquiera, salido del aire, sin ninguna credencial para la fama. Sin embargo, lleva intrigando a matemáticos y entusiastas de la teoría de los números desde 1949. 6174 se conoce como la constante de Kaprekar, la operación para obtenerlo como la operación de Kaprekar.
Yutaka Nishiyama, de la Universidad de Economía de Osaka, Japón, por ejemplo, cuenta en la revista +plus que usó una computadora para ver si había un número limitado de pasos para llegar a 6174.
Estableció que el máximo número de pasos era 7, es decir que, si no llegas a 6174 después de usar la operación de Kaprekar siete veces, has cometido un error en tus cálculos y debes intentarlo de nuevo.

  1. Elije cualquier número de cuatro dígitos que esté formado por al menos dos dígitos diferentes, incluido cero, por ejemplo 1234.
  2. Organiza los dígitos en orden descendente, lo que en nuestro ejemplo quedaría 4321
  3. Ahora, organiza el número en orden ascendente: 1234
  4. Resta el número más pequeño del número más grande: 4321 - 1234
  5. Y ahora repite los tres últimos pasos hasta llegar a 6174. Como verás, de aquí en adelante no vale la pena seguir, pues sólo repetiríamos la misma operación.
A esto se le conoce como la Constante de Kaprekar pues quien descubrió la misteriosa belleza de 6174 y la presentó en la Conferencia Matemática de Madrás en 1949 fue Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), un adicto confeso de la teoría de los números.

En otras exploraciones se descubrió que el mismo fenómeno ocurre cuando en vez de empezar con números de cuatro dígitos empiezas con los de tres. El número mágico en este caso es 495.  Y no, no pasa en otros casos: sólo cuando empiezas con números de tres o cuatro dígitos (al menos de 2 a 10 dígitos, que es lo que se ha comprobado).

Ciertamente 73, el número de Sheldon. El 73 es el 21º número primo y el producto de sus digitos (7 * 3, que también son números primos) es 21. Además, su especular*, 37, es el 12º número primo. Esa es la imagen especular de 21. Como si eso no fuera suficiente, si convertimos el 73 en binario (1001001) obtendremos un número de palíndromo**. 73 ha demostrado ser el único número que disfruta de estas propiedades

*Especular: simétrico, reflejado en un espejo.

**Palíndromo: Palabra o número que resulta el mismo leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.


Referencias


Ventura, D. (25 de Agosto de 2019). El misterioso número 6174 que ha intrigado a matemáticos durante 70 años. Obtenido de BBC News Mundo: https://www.bbc.com/mundo/noticias-49426284

Math, D. (23 de March de 2001). Digit Reversal Trick Explained. Obtenido de The math forum: http://mathforum.org/library/drmath/view/53243.html

WikiHow. (s.f.). Cómo multiplicar con las manos. Recuperado el 26 de Agosto de 2019, de WikiHow: https://es.wikihow.com/multiplicar-con-las-manos

Wikipedia. (4 de August de 2019). 1089 (number). Obtenido de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/1089_(number)

Wikipedia. (22 de August de 2019). 1729 (number). Obtenido de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)

Wikipedia. (6 de Agosto de 2019). Dedos de la mano. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Dedos_de_la_mano








2019-08-27

Trucos aritméticos 1

Pase lo que pase, la práctica del cálculo mental debe de ser repetitiva, regular, alrededor de 10 minutos al día es suficiente: su cerebro tiene que adquirir los automatismos y para esto,solo repetir y repetir las mismas fórmulas es efectivo, los mismos cálculos hasta que esto se conviertan en cosa evidente y natural. El cálculo mental es interesante por más de un motivo:

  • Crea automatismos.
  • Ayuda al razonamiento.
  • Acostumbra a trabajar con números.
  • Permite conocer las propiedades de los números.

Herramientas básicas para desarrollar la capacidad en cálculo mental


  • Las tablas de suma y de multiplicación
  • Los complementos del número 10
  • Los cuadrados hasta 15² (=225) así como de las potencias de 2
  • Técnica de multiplicación por potencias de 10 con exponentes negativos (hay que desplazar el punto hacia la izquierda) y exponentes positivos (desplazar el punto hacia la derecha)
  • « Dividir un número = multiplicar por su inverso », por ejemplo, dividir entre 0.25, es multiplicar por 4.
  • Los productos notables: (a+b) ² = a²+2ab+b², (a-b) ² = a²-2ab+b², (a+b) (a-b) = a²-b².
  • Aprender las reglas de factorización
  • Conocer constantes como PI (3.14159), número de oro (1.618), etc.
  • Realizar operaciones de izquierda a derecha.
  • Redondear a potencias de 10
  • Substraer sumando
  • Multiplicar por potencias de 2 doblando sucesivamente
  • Dividendo por potencias de 2 sacando mitades sucesivas
  • Multiplicar por 5: multiplicar por 10 y sacar mitad
  • Dividir por 5: Doblar y dividir entre 10
  • Cuadrado de un numero que termina en 5: a(a+1)+25, a = (n-5)/10
  • Multiplicar por 25: Multiplicar por 100 y sacar mitad dos veces
  • Dividir entre 25: Doblar dos veces y dividir entre 100
  • Multiplicar por un numero que termina en .5: doblar primero para eliminar el .5, multiplicar y sacar mitad al otro factor
  • Dividir entre un numero que termina en .5: doblar dividendo y divisor
  • Cuadrado de un numero que termina en 1 (a1) : 100a2+10 2a + 1
  • Multiplicar dos números con diferencia de dos (a-1,a+1): a2-1 

Trucos


    • Multiplicar por 15: multiplicar por 10 el multiplicando más su mitad
    • Dividir entre 15: Multiplicar por 2/3 y dividir entre 10
    • Multiplicar por 75: multiplicar por 3/4 por 100
    • Dividir por 75: multiplicar por 1 1/3 y dividir entre 100
    • Multiplicar por 9: Multiplicar por 10 y substraer el multiplicando
    • Multiplicar por 125: Dividir entre 8 y multiplicar por 1000
    • Dividir entre 125: Multiplicar por 8 y dividir entre 1000
    • Estimar división entre 9 multiplicando por 11
    • Estimar división entre 11 multiplicando por 9
    • Estimar división entre 14 multiplicando por 7
    • Estimar división entre 17 multiplicando por 6
    • ¿Cómo multiplicar por 11? Basta con sumar las 2 cifras que componen el número que vamos a multiplicar por 11 y colocar el resultado entre esas dos cifras.

    2019-08-26

    multiplicar con las manos

    Para que multiplicar con los dedos funcione de manera exitosa, primero debes saber la tabla de multiplicación del 1 al 5. Multiplicar con las manos funciona con las tablas del 6, 7, 8, 9 y 10.

    1. Coloca tus manos de modo que tus palmas estén frente a tu cuerpo y tus dedos frente a frente. Cada dedo representará nuevamente un número. Tus dedos meñiques representarán el número 6, tus dedos anulares representarán el 7, tus dedos medios representarán el 8, tus dedos índices representarán el 9 y tus dedos pulgares representarán el 10.
    2.  Junta los dedos que representan tu problema de multiplicación. Por ejemplo, si quieres resolver 7 por 8, deberás juntar tu dedo anular izquierdo con tu dedo medio derecho. Tus dedos de tu mano izquierda representarán el número del lado izquierdo del problema y tus dedos de tu mano derecha representarán el número del lado derecho del problema. Recuerda nuevamente que cada dedo representará un número y que, en este caso, tu dedo anular representará el 7 y tu dedo medio representará el 8. Por lo tanto, tendrás que juntar estos dedos para resolver este problema matemático. ¡Es posible que tengas que doblar tu muñeca de manera algo incómoda para hacerlo! A manera de otro ejemplo, si tratas de calcular 9 por 7, juntarías tu dedo índice izquierdo con tu dedo anular derecho.
    3.  Suma los dedos que juntes así como los dedos que están debajo de ellos. El siguiente paso es contar los dedos que se tocan y los dedos que están debajo de ellos. Estos representarán las decenas. En este caso contarías los dedos anular y meñique de la mano izquierda y los dedos medio, anular, y meñique de la mano derecha. Cada dedo que cuentes se contará como 10. En este caso el total será 50. 
    4.  Multiplica los dedos restantes. El siguiente paso será sumar el número de dedos de cada mano, sin incluir los dedos que se tocan. Primero cuenta el número de dedos de tu mano izquierda que están encima de los dedos que se tocan: en este caso serían 3. Luego cuenta el número de dedos de tu mano derecha que están encima de los dedos que se tocan: en este caso serían 2. 3 por 2 es 6. 
    5.  Suma los dos resultados para encontrar tu respuesta. En este caso sumarás 50 a 6 y el total será 56. ¡La respuesta de 7 por 8 es 56!


    Cómo multiplicar con las manos

    Referencias



    WikiHow. (s.f.). Cómo multiplicar con las manos. Recuperado el 26 de Agosto de 2019, de WikiHow: https://es.wikihow.com/multiplicar-con-las-manos


    Wikipedia. (6 de Agosto de 2019). Dedos de la mano. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Dedos_de_la_mano