La suma de dos de los números irracionales más famosos,
π
(la razon de la circunferencia al diametro) y
e
(la base del logaritmo natural), sigue siendo un problema abierto en matemáticas. Aunque ambos son irracionales (e incluso trascendentes), no se ha podido demostrar si su suma
π
+
e
es racional o irracional.
En general, la suma de dos números trascendentes puede ser racional o irracional: por ejemplo de suma racional:
(
2
+
π
)
+
(
1
−
π
)
=
3
(racional).
No hay un método general para determinar la irracionalidad de sumas como
π
+
e
.
π
y
e
tienen definiciones analíticas (límites, series, integrales), pero no una conexión algebraica clara que permita manipular su suma.
Las técnicas actuales para demostrar irracionalidad (como aproximaciones diofánticas o fracciones continuas) no son lo suficientemente potentes para este caso. La dificultad radica en la falta de relaciones algebraicas conocidas entre
π
y
e
. Si alguien lo resolviera, sería un resultado importante en teoría de números, posiblemente usando herramientas avanzadas de análisis o teoría de trascendencia.
Lex Fridman es un ruso profesor del MIT que tiene un canal de YouTube (https://www.youtube.com/channel/UCSHZKyawb77ixDdsGog4iWA ), Artificial Intelligence podcast, donde entrevista a los grandes de la tecnología de información. El 7 de enero de 2020, Lex entrevisto a Grant Sanderson, creador de 3Blue1Brown, un popular canal de YouTube ( https://www.youtube.com/3Blue1Brown ), que utiliza sofisticadas y elegantes visualizaciones animadas para explicar conceptos de matemáticas y sus aplicaciones en ciencia, tecnología, y sociedad.
Los dos comentarios de Sanderson que me quedaron de la entrevista fue la importancia de la notación matemática en el pensamiento científico mismo, y la caracterización de la visualización como una manera de hacer concreto un concepto abstracto.
Tanto Newton como Leibniz redujeron los problemas del cálculo de áreas, segmentos, volúmenes, a procesos de anti-derivación. Sin embargo, mientras que Leibniz se centraba en los incrementos infinitesimales, Newton usaba sus infinitesimales en la derivada misma. En Newton los infinitesimales estaban asociados directamente al cálculo de velocidades instantáneas (un claro sentido de aplicación física). En Leibniz el interés no era la aplicación física, sino los infinitesimales como entes primarios en la descripción de lo real. El énfasis de Newton era la razón de cambio, mientras que en Leibniz lo era la suma infinita de infinitesimales. Mientras que para Leibniz la notación era muy importante, Newton no le prestó mucho cuidado.
Básicamente la notación matemática, o de cualquier disciplina, para el caso, y la teoría subyacente proporciona un lenguaje común que permite a los conocedores de un tema intercambiar información de una manera eficiente. Richard Feynman cuenta en una de sus anécdotas que cuando estaba en la preparatoria, desarrollo su propia notación matemática, pero que la abandono porque era una perdida de tiempo al tener que explicarle a otro cualquier cosa. La notación debe ser una convención universal para ser útil.
Otro ejemplo, nos lo David Bennett que se plantea la pregunta de que si Los Beatles sabían teoría musical. En entrevistas los mismos Beatles reconocen que ni siquiera podían leer partituras, y aunque su talento musical es incuestionable, necesitaban alguien que tradujera sus ideas a la notación musical convencional. Ese alguien fue George Martin (https://en.wikipedia.org/wiki/George_Martin ) Martin preparación formal lleno el vacío entre el talento bruto de los Beatles y el sofisticado sonido que los distingue de todos los demás. La mayoría de los arreglos orquestales e instrumentación fue escrita o realizado por Martin.
Cuando la notación esta fuertemente establecida, las nociones teóricas en que se basa se olvidan, y se manejan solo de manera implícita. Por ejemplo, aprovechando que 1 + 4 = 5, un bromista travieso nos puede mostrar con las tres operaciones de suma, multiplicación, y división que 5 por 14 es igual a 25. Para una demostración pueden ver una plática del argentino Adrián Paenza sobre el pensamiento crítico y las matemáticas para la vida real.
Volviendo con Grant Sanderson, el tema básico es como o porque la gente se interesa o involucra con las matemáticas. Lex le pregunto a Sanderson que ha quien dirigía sus videos. Sanderson dijo que su motivación primaria es satisfacer una curiosidad intelectual propia, que en principio hacia los videos para él mismo tener un conocimiento más profundo, y que, aunque buscaba que el material publicado fuera atractivo para las masas, que era en realidad muy difícil predecir qué tan exitoso será un video. En una plática en TED, Sanderson lista sus 4 videos más populares:
The hardest problem in the hardest test. Un video sobre un problema de geometría en espacio tridimensional sobre la relación entre cuatro puntos en una esfera y el centro de la esfera.
But what is a Neural Network? | Deep learning, chapter 1. Una introducción a redes neurales.
The most unexpected answer to a counting puzzle. Un resultado de la dinámica que relaciona el número de colisiones entre dos bloques y el número π.
But what is the Fourier Transform? A visual introduction. Una introducción bastante creativa a la transformada de Fourier.
Sanderson señala que una de las objeciones al estudio de las matemáticas es que la gente siente que el tema esta desconectado de su realidad cotidiana. Sin embargo, de los cuatro videos más populares, solo el tema de las redes neurales se pudiera considerar de alguna relevancia práctica.
Sanderson especula que el elemento de drama e historia subyacente, la intriga del acertijo, la fantasía de imaginarse entre los de mayor rendimiento, es lo que al final del día involucra los temas matemáticos.
Sanderson cierra con unas referencias de Hardy sobre la belleza de las matemáticas puras y el valor adicional de que no sean útiles. Pero Sanderson anota que las matemáticas más abstractas terminan siendo útiles. Hardy usa como ejemplo de matemáticas sin uso aparente posible, la teoría de números, que en siglo veintiuno es la base de la criptografía, componente esencial de la tecnología informática.
Abbot: Tienes 40 años y estás enamorado de una niña, digamos de 10 años. Eres cuatro veces mayor que esa chica. No podrías casarte con esa chica, ¿verdad? Entonces esperas 5 años. Ahora la niña tiene 15 años y tú tienes 45. Solo tienes tres veces la edad de esa chica. Entonces esperas 15 años más. Ahora la niña tiene 30 años y tú tienes 60. Solo tienes el doble de edad que esa niña. Aquí está la pregunta. ¿Cuánto tiempo tienes que esperar antes de tú y ella tengan la misma edad?
Costello: ¿Qué tipo de pregunta es esa? Eso es ridículo.
Si sigo esperando ella terminará más vieja que yo.
¡Entonces ella tendrá que esperarme!
El prestamo
Abbott: Hazme un favor. Préstame $ 50.
Costello: No puedo prestarte $ 50. Todo lo que tengo es $ 40.
Abbott: está bien. Dame los $ 40 y me deberás $ 10.
Costello: ¿Cómo es que te debo $ 10?
Abbott: ¿Qué te pedí?
Costello: $ 50.
Abbott: ¿Qué me diste?
Costello; $ 40.
Abbott: Entonces me debes $ 10.
Costello: Eso es correcto. Pero me debes 40 dólares. Devuélveme mis $ 40.
Abbott: Ahí están tus $ 40. Ahora dame los $ 10 que me debes.
Esa es la última vez que le pido un préstamo de $ 50.
Costello: ¿Cómo puedo prestarle $ 50 ahora? Todo lo que tengo es $ 30.
Abbott: Dame los $ 30 y me deberás $ 20.
Costello: Esto está empeorando todo el tiempo.
¡Primero te debo $ 10, y ahora te debo $ 20!
Abbott: Entonces me debes $ 20. Veinte y 30 son 50.
Costello; No! Veinticinco y 25 es 50.
Abbott: Aquí están tus $ 30. Devuélveme mis $ 20.
Costello: ¡Todo lo que tengo ahora es $ 10!
Juego de números.
Abbott: Toma un número, cualquier número del 1 al 10, y no me digas.
Costello: lo tengo.
Abbott: ¿Es el número par o impar?
Costello: Par.
Abbott: ¿Es el número entre 1 y 3?
Costello: No.
Abbott: ¿Entre 3 y 5?
Costello: No. Creo que lo tengo.
Abbott: ¿Entre 5 y 7?
Costello: si.
Abbott: ¿Número seis?
Costello: bien. . . . ¿Como el hizo eso?
El fallecimiento del Ingeniero y maestro de la Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica (FIME), René Mario Montante Pardo, consternó a los directivos y alumnos de la Universidad Autónoma de Nuevo León, al confirmarse su muerte el día 22 de septiembre de 2019.
Montante Pardo se distinguió como docente de FIME por el desarrollo de un algoritmo del álgebra lineal para determinar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales utilizado para la resolución de matrices con números enteros y que es conocido internacionalmente como "Método Montante".
Fue en 1973 cuando Montante desarrolló este algoritmo cuando los cálculos en los cursos universitarios se tenían que hacer a mano, con el apoyo de la regla de cálculo. En esa época no había ni siquiera calculadoras portátiles, y las computadoras estaban restringidas a unas cuantas en todo el mundo. La HP-35, la calculadora científica de bolsillo original estuvo disponible de 1971 a 1975 y valía del orden de 100 dólares, muy fuera de la capacidad adquisitiva del típico estudiante de una universidad publica mexicana de los setentas.
Montante --- con la motivación docente de explicar el álgebra matricial de una manera que fuera fácil para los alumnos de entender y ejecutar--- desarrollo un método grafico que utilizaba hasta el cálculo final solo números enteros. El proceso del cual nació el Método Montante, fue desarrollado en el año de 1973 y fue publicado en 1976 una vez que se había utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Montante cursó la escuela primaria en Monterrey, primero en el Colegio México y, después a los 15 años en la Escuela Industrial y Preparatoria Técnica "Álvaro Obregón" donde estudió Técnico Mecánico, llamado Maestro Mecánico. En 1953 regresó a la escuela Álvaro Obregón a la preparatoria tras un año de trabajo en Talleres Industriales, donde vio que a los ingenieros se les pagaba mejor. Durante su estadía en la preparatoria, jugó durante un año con los Bulldog. En 1955 ingresó en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la UANL para estudiar ingeniería mecánica. En 1959 se graduó, y trabajó de 1960 a 1961 en la Fundidora de Fierro y Acero de Monterrey. Después fue a trabajar a Estados Unidos hasta 1963, año en que regresó a Monterrey y a la UANL para ingresar en la carrera de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas (UANL), carrera de la cual se graduó en 1966. Desde 1965 comenzó a dar clases en FIME en la UANL, hasta el año 2001, en el cual se jubiló.
En el mundo hispanohablante el procedimiento de Montante es conocido como el Método Bareiss-Montante, llamado así por sus dos descubridores, René Mario Montante Pardo y Erwin H. Bareiss. Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices inversas, matrices de adjuntos y determinantes. La característica principal del algoritmo de Montante es que trabaja con enteros, lo cual simplifica los cálculos manuales y evita aproximaciones y redondeos en programas ejecutados con computadora.
Aunque al parecer Montante lo redescubrió en sus estudios, un método idéntico ya había sido publicado en la literatura por el matemático Erwin H. Bareiss, quien en 1968 publicó un documento titulado "Sylvester's Identity and Multistep Integer Preserving Gaussian Elimination" en donde se describe como resolver matrices con números enteros.
El artículo de Wikipedia titulado Bareiss algorithm dice:
In mathematics, the Bareiss algorithm, named after Erwin Bareiss, is an algorithm to calculate the determinant or the echelon form of a matrix with integer entries using only integer arithmetic; any divisions that are performed are guaranteed to be exact (there is no remainder). The method can also be used to compute the determinant of matrices with (approximated) real entries, avoiding the introduction any round-off errors beyond those already present in the input.
The general Bareiss algorithm is distinct from the Bareiss algorithm for Toeplitz matrices.
In some Spanish-speaking countries, this algorithm is also known as Bareiss-Montante, because of René Mario Montante Pardo, a professor of the Universidad Autónoma de Nuevo León, Mexico, that popularized the method among his students.
Los editores de Wikipedia me dejan con cara de what. Montante no popularizo el algoritmo de Bareiss, sino que de manera independiente desarrollo un método para enseñar álgebra matricial en una época en que los cálculos solo se podían hacer a mano. La Wikipedia en español concede, probablemente a regañadientes, que:
Debido a que dicho estudio no fue muy difundido, en gran parte de Latinoamérica se conoce como Montante, aunque correctamente debería ser Bareiss-Montante.
El método consiste en ir "pivoteando" en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo, el renglón donde está el pivote va a ser el renglón base de todo el sistema y la columna donde está el pivote va a ser la columna base. Con respecto a ese renglón y esa columna, donde está el pivote, se forman determinantes de dos por dos, y siempre se trabaja con números enteros, si apareciera alguna fracción hay un error.
Para que multiplicar con los dedos funcione de manera exitosa, primero debes saber la tabla de multiplicación del 1 al 5. Multiplicar con las manos funciona con las tablas del 6, 7, 8, 9 y 10.
Coloca tus manos de modo que tus palmas estén frente a tu cuerpo y tus dedos frente a frente. Cada dedo representará nuevamente un número. Tus dedos meñiques representarán el número 6, tus dedos anulares representarán el 7, tus dedos medios representarán el 8, tus dedos índices representarán el 9 y tus dedos pulgares representarán el 10.
Junta los dedos que representan tu problema de multiplicación. Por ejemplo, si quieres resolver 7 por 8, deberás juntar tu dedo anular izquierdo con tu dedo medio derecho. Tus dedos de tu mano izquierda representarán el número del lado izquierdo del problema y tus dedos de tu mano derecha representarán el número del lado derecho del problema. Recuerda nuevamente que cada dedo representará un número y que, en este caso, tu dedo anular representará el 7 y tu dedo medio representará el 8. Por lo tanto, tendrás que juntar estos dedos para resolver este problema matemático. ¡Es posible que tengas que doblar tu muñeca de manera algo incómoda para hacerlo! A manera de otro ejemplo, si tratas de calcular 9 por 7, juntarías tu dedo índice izquierdo con tu dedo anular derecho.
Suma los dedos que juntes así como los dedos que están debajo de ellos. El siguiente paso es contar los dedos que se tocan y los dedos que están debajo de ellos. Estos representarán las decenas. En este caso contarías los dedos anular y meñique de la mano izquierda y los dedos medio, anular, y meñique de la mano derecha. Cada dedo que cuentes se contará como 10. En este caso el total será 50.
Multiplica los dedos restantes. El siguiente paso será sumar el número de dedos de cada mano, sin incluir los dedos que se tocan. Primero cuenta el número de dedos de tu mano izquierda que están encima de los dedos que se tocan: en este caso serían 3. Luego cuenta el número de dedos de tu mano derecha que están encima de los dedos que se tocan: en este caso serían 2. 3 por 2 es 6.
Suma los dos resultados para encontrar tu respuesta. En este caso sumarás 50 a 6 y el total será 56. ¡La respuesta de 7 por 8 es 56!
We seek the solution to a set of linear equations, expressed in matrix terms as
The Richardson iteration is
where ω is a scalar parameter that has to be chosen such that the sequence x(k) converges.
It is easy to see that the method is correct, because if it converges, then and x(k) has to approximate a solution of Ax = b.
Convergence
Subtracting the exact solution x, and introducing the notation for the error , we get the equality for the errors
e(k + 1) = e(k) − ωAe(k) = (I − ωA)e(k).
Thus,
for any vector norm and the corresponding induced matrix norm. Thus, if the method convergences.
Suppose that A is diagonalizable and that (λj,vj) are the eigenvalues and eigenvectors of A. The error converges to 0 if | 1 − ωλj | < 1 for all eigenvalues λj. If, e.g., all eigenvalues are positive, this can be guaranteed if ω is chosen such that 0 < ω < 2 / λmax(A). The optimal choice, minimizing all | 1 − ωλj | , is ω = 2 / (λmin(A) + λmax(A)), which gives the simplest Chebyshev iteration.
If there are both positive and negative eigenvalues, the method will diverge for any ω if the initial error e(0) has nonzero components in the corresponding eigenvectors.
References
Richardson, L.F. (1910). "The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam".Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A210: 307–357.
Rayleigh quotient iteration is an iterative method, that is, it must be repeated until it converges to an answer (this is true for all eigenvalue algorithms). Fortunately, very rapid convergence is guaranteed and no more than a few iterations are needed in practice. The Rayleigh quotient iteration algorithm converges cubically, given an initial vector that is sufficiently close to an eigenvector of thematrix that is being analyzed.
Peter Montgomery published in 1995 an algorithm, based on the Lanczos algorithm, for finding elements of the nullspace of a large sparse matrix over GF(2); since the set of people interested in large sparse matrices over finite fields and the set of people interested in large eigenvalue problems scarcely overlap, this is often also called the block Lanczos algorithm without causing unreasonable confusion. See Block Lanczos algorithm for nullspace of a matrix over a finite field.
El sistema Trachtenberg de rápido cálculo mental, similar a las matemáticas Védicas, consiste en un conjunto de patrones para realizar operaciones aritméticas. Los algoritmos más importantes son multiplicación,división, y adición. El método también incluye algoritmos especializados para realizar multiplicaciones por números entre 5 y 13.
def x7(number): previous = 0 result = 0 power_of_10 = 1 while (number): digit = number%10 odd_term = 5 if digit%2 else 0 result = (2*digit + odd_term + previous ) * power_of_10 + result previous = digit//2 power_of_10 *= 10 number = number // 10 result = previous * power_of_10 + result return result
Multiplicación por 5
De manera similar al caso anterior:
aj = 2bj + cj
(5)a = (10/2)Σai10i =
Σbi10i+1 + Σ(5ci)10i
bn 10n+1 + [Σj=1n(5cj + bj-1)10j ]+ (5c0)
Expresando el algoritmo en python:
def x5(number): previous = 0 result = 0 power_of_10 = 1 while (number): digit = number%10 odd_term = 5 if digit%2 else 0 result = (odd_term + previous ) * power_of_10 + result previous = digit//2 power_of_10 *= 10 number = number // 10 result = previous * power_of_10 + result return result
Multiplicación por 9
Definiendo
b = 10n+1 - Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a
tenemos
(9)a = 10a –a =
10a –a + b – b =
10a + b - 10n+1 =
(an – 1)10n+1 + [Σj=1n(bj + aj-1)10j ]+ (b0 )
Expresando el algoritmo en python:
def x9(number): previous = number%10 result = 10 - previous power_of_10 = 10 number = number // 10 while (number): digit = number%10 result = (9 - digit + previous ) * power_of_10 + result previous = digit power_of_10 *= 10 number = number // 10 result = (previous-1) * power_of_10 + result return result
Multiplicación por 8
Definiendo
b = 10n+1 - Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a
tenemos
(8)a = 10a –2a =
10a –2a +2 b – 2b =
10a + 2b – (2)10n+1 =
(an – 2)10n+1 + [Σj=1n(2bj + aj-1)10j ]+ (2b0 )
Expresando el algoritmo en python:
def x8(number): previous = number%10 result = 2*(10 - previous) power_of_10 = 10 number = number // 10 while (number): digit = number%10 result = (2*(9 - digit) + previous ) * power_of_10 + result previous = digit power_of_10 *= 10 number = number // 10 result = (previous-2) * power_of_10 + result return result
Multiplicación por 3 y por 4
Los algoritmos para multiplicar por 3 y por 4 combinan las ideas usadas en la multiplicación por 5 y por 9.
Definiendo
b = 10n+1 - Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a
ai = 2ci + di, donde
ci = ai/2
di = ai mod 2
tenemos
(4)a = 5a –a =
10c + 5d + b - 10n+1
(3)a = 5a –2a =
10c + + 5d + 2b – (2)10n+1
Expresando los algoritmos en python:
def x3(number): digit = number%10 result = 2*(10 - digit) if digit % 2: result += 5 previous = digit // 2 power_of_10 = 10 number = number // 10 while (number): digit = number%10 odd_term = 5 if digit%2 else 0 result +=(2*(9 - digit) + odd_term + previous ) * power_of_10 previous = digit//2 power_of_10 *= 10 number = number // 10 result = (previous-2) * power_of_10 + result return result
def x4(number): digit = number%10 result = (10 - digit) if digit % 2: result += 5 previous = digit // 2 power_of_10 = 10 number = number // 10 while (number): digit = number%10 odd_term = 5 if digit%2 else 0 result +=((9 - digit) + odd_term + previous ) * power_of_10 previous = digit//2 power_of_10 *= 10 number = number // 10 result = (previous-1) * power_of_10 + result return result
Aunque los logros específicos del saber humano se dan a través de individuos al ver la historia el contexto social parece ser determinante para el desarrollo tecnológico y el entendimiento científico. Como dijo alguien con respecto a la bomba atómica:
El secreto es saber que se puede hacer.
Por otro lado, los genios son cosa rara. Consideramos el siglo veinte y lo que va del veintiuno como superiores al resto de la historia humana en términos de entendimiento científico y avance tecnológico pero tal vez todavía no terminamos de aprehender lo que Newton percibió y plasmo en su obra hace 300 años.
Pi es interesante porque el circulo es interesante. El circulo es una forma ideal abstracta que no existe en la realidad pero también es la forma de muchos objetos de la vida diaria.
Algunas personas pueden entender que un objeto redondo es aproximadamente circular pero que si medimos con suficiente precisión no hay círculos perfectos en el mundo. Para algunos lograr este salto de abstracción no es una posibilidad y logran demostrar que pi es igual 20612/6561, que en términos prácticos, en términos de medir una mesa, o rebanar un pastel esta más que bien, pero en términos de capacidad de desarrollar tecnología, por ponerlo de alguna manera, es un callejón sin salida. La practicidad es un duende travieso que nos permite salir adelante ante los retos de la vida pero que si nos descuidamos nos lleva por los senderos del estancamiento y de la corrupción. Empecemos por valorar a los que pueden, tratemos de entender. El primer paso, según alcohólicos anónimos es aceptar el problema. La educación es el camino, trabajemos para que nuestros niños sepan observar, pensar, discutir, y hacer, no para que sean científicos, sino para que todos vivamos mejor.
Un lector del libro de Beckmann comparte su frustración en Internet:
I think my main problem with the book is that I was looking for an interesting narrative that explores the impact of pi from a cultural and personal point of view. What I got was a mathematical primer on pi, heavy on formulas, charts and graphs, peppered with bland historical facts easily obtained from general knowledge history books and encyclopedias.
Es curioso el comentario porque el libro es ameno, atestiguado por sus ventas, y las matemáticas son un lenguaje para hablar de cosas como pi, es decir son parte de la narrativa. Parece que la comunicación entre el hemisferio izquierdo y el derecho del cerebro no es tan fácil. Para algunos, como Pitágoras, los números son mágicos y su manipulación un camino para controlar el destino.
Si la parte decimal es mayor a .5 podemos acercarnos por arriba 1 3 + --------------------------- 1 7 + --------------------- 1 16 - -------------- 292.98696...
Simplificando
1 3 + ---------- 1 7 + ---- 16
1 3 + ------- 113 ----- 16
16 3 + ----- 113
335 ----- 113
Las primeas cuatro aproximaciones a pi corresponden con valores históricos;
and 
, we get the equality for the errors
the method convergences.