Análisis de regresión

Análisis de regresión y correlación lineal y múltiple

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REGRESIÓN LINEAL ¡QUÉ LA FUERZA TE ACOMPAÑE!

Jorge Andrade10.2011

domino

simetría

sistema de ecuaciones lineales

¿cuando un sistema de ecuaciones lineales es Compatible o Incompatible, Determinado o Indeterminado?

Compatible significa que tiene solución
Incompatible significa que no tiene solución (claro!)

Determinado significa que la solución es única
Indeterminado significa que la solución no es única

Modified Richardson iteration

Modified Richardson iteration is an iterative method for solving a system of linear equations. Richardson iteration was proposed by Lewis Richardson in his work dated 1910. It is similar to the Jacobiand Gauss–Seidel method.

We seek the solution to a set of linear equations, expressed in matrix terms as

The Richardson iteration is

where ω is a scalar parameter that has to be chosen such that the sequence x^(k) converges.

It is easy to see that the method is correct, because if it converges, then  and x^(k) has to approximate a solution of Ax = b.

Convergence

Subtracting the exact solution x, and introducing the notation for the error , we get the equality for the errors

e^{(k + 1)} = e^(k) − ωAe^(k) = (I − ωA)e^(k).

Thus,

for any vector norm and the corresponding induced matrix norm. Thus, if  the method convergences.

Suppose that A is diagonalizable and that (λ_j,v_j) are the eigenvalues and eigenvectors of A. The error converges to 0 if | 1 − ωλ_j | < 1 for all eigenvalues λ_j. If, e.g., all eigenvalues are positive, this can be guaranteed if ω is chosen such that 0 < ω < 2 / λ_max(A). The optimal choice, minimizing all | 1 − ωλ_j | , is ω = 2 / (λ_min(A) + λ_max(A)), which gives the simplest Chebyshev iteration.

If there are both positive and negative eigenvalues, the method will diverge for any ω if the initial error e⁽⁰⁾ has nonzero components in the corresponding eigenvectors.

References

• Richardson, L.F. (1910). "The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam".Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 210: 307–357.
• Vyacheslav Ivanovich Lebedev (2002). "Chebyshev iteration method". Springer. Retrieved 2010-05-25. Appeared in Encyclopaedia of Mathematics (2002), Ed. by Michiel Hazewinkel, Kluwer - ISBN 1402006098
• Extremal polynomials with application to Richardson iteration for indefinite linear systems (Technical summary report / Mathematics Research Center, University of Wisconsin--Madison)

el núcleo y la imagen de un Aplicación lineal

Published on Apr 21, 2012
Ejemplo de como se calcula el núcleo y la imagen de un Aplicación lineal

Cruithne

Cruithne no puede verse a simple vista. No solo es muy pequeño para ello, sino que se encuentra a una enorme distancia de la Tierra. En su aproximación máxima solo llega a unos 12 millones de kilómetros de nuestro planeta, unas 30 veces más lejos de lo que se encuentra la Luna. Un dato tranquilizador es que a pesar de lo compleja que es su trayectoria y su inestabilidad a largo plazo, los cálculos de Wiegart e Innanen demuestran que no impactará contra nosotros. O al menos, no durante un par de millones de años. Como decíamos, vista desde la Tierra su órbita se asemeja una herradura o un riñón, y realiza un cambio de ciclo cada 387 años. Está previsto que en julio de 2289 Cruithne realice una de sus máximas aproximaciones a la Tierra, tal como lo hizo en 1902.


Dentro del grupo de los Near-Earth asteroids hay al menos otros tres que poseen órbitas semejantes a la de Cruithne. Otros planetas, como Marte, también poseen objetos que los acompañan en trayectos co-órbitales, pero hasta donde sabemos, ninguno de ellos describe una trayectoria tan extraña como la de Cruithne.