Modified Richardson iteration

Modified Richardson iteration is an iterative method for solving a system of linear equations. Richardson iteration was proposed by Lewis Richardson in his work dated 1910. It is similar to the Jacobiand Gauss–Seidel method.

We seek the solution to a set of linear equations, expressed in matrix terms as

The Richardson iteration is

where ω is a scalar parameter that has to be chosen such that the sequence x^(k) converges.

It is easy to see that the method is correct, because if it converges, then  and x^(k) has to approximate a solution of Ax = b.

Convergence

Subtracting the exact solution x, and introducing the notation for the error , we get the equality for the errors

e^{(k + 1)} = e^(k) − ωAe^(k) = (I − ωA)e^(k).

Thus,

for any vector norm and the corresponding induced matrix norm. Thus, if  the method convergences.

Suppose that A is diagonalizable and that (λ_j,v_j) are the eigenvalues and eigenvectors of A. The error converges to 0 if | 1 − ωλ_j | < 1 for all eigenvalues λ_j. If, e.g., all eigenvalues are positive, this can be guaranteed if ω is chosen such that 0 < ω < 2 / λ_max(A). The optimal choice, minimizing all | 1 − ωλ_j | , is ω = 2 / (λ_min(A) + λ_max(A)), which gives the simplest Chebyshev iteration.

If there are both positive and negative eigenvalues, the method will diverge for any ω if the initial error e⁽⁰⁾ has nonzero components in the corresponding eigenvectors.

References

• Richardson, L.F. (1910). "The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam".Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 210: 307–357.
• Vyacheslav Ivanovich Lebedev (2002). "Chebyshev iteration method". Springer. Retrieved 2010-05-25. Appeared in Encyclopaedia of Mathematics (2002), Ed. by Michiel Hazewinkel, Kluwer - ISBN 1402006098
• Extremal polynomials with application to Richardson iteration for indefinite linear systems (Technical summary report / Mathematics Research Center, University of Wisconsin--Madison)

el núcleo y la imagen de un Aplicación lineal

Published on Apr 21, 2012
Ejemplo de como se calcula el núcleo y la imagen de un Aplicación lineal

Cruithne

Cruithne no puede verse a simple vista. No solo es muy pequeño para ello, sino que se encuentra a una enorme distancia de la Tierra. En su aproximación máxima solo llega a unos 12 millones de kilómetros de nuestro planeta, unas 30 veces más lejos de lo que se encuentra la Luna. Un dato tranquilizador es que a pesar de lo compleja que es su trayectoria y su inestabilidad a largo plazo, los cálculos de Wiegart e Innanen demuestran que no impactará contra nosotros. O al menos, no durante un par de millones de años. Como decíamos, vista desde la Tierra su órbita se asemeja una herradura o un riñón, y realiza un cambio de ciclo cada 387 años. Está previsto que en julio de 2289 Cruithne realice una de sus máximas aproximaciones a la Tierra, tal como lo hizo en 1902.


Dentro del grupo de los Near-Earth asteroids hay al menos otros tres que poseen órbitas semejantes a la de Cruithne. Otros planetas, como Marte, también poseen objetos que los acompañan en trayectos co-órbitales, pero hasta donde sabemos, ninguno de ellos describe una trayectoria tan extraña como la de Cruithne.