2009-08-22

La aritmética de Trachtenberg

Así como Viktor Emil Frankl desarrollo la logoterapia para superar los rigores de los campos de concentración Nazi, Jakow Trachtenberg ocupo su mente en desarrollar un sistema de aritmética mental al verse en la misma situación.

El sistema Trachtenberg de rápido cálculo mental, similar a las matemáticas Védicas, consiste en un conjunto de patrones para realizar operaciones aritméticas. Los algoritmos más importantes son multiplicación,división, y adición. El método también incluye algoritmos especializados para realizar multiplicaciones por números entre 5 y 13.

Multiplicación por 11

Abusando de la notación

(11)a = 11Σai10i =

an10n+1 + [Σj=0n-1(aj+aj+1)10j ]+ a0

Multiplicación por 12

(12)a = 12Σai10i =

an10n+1 + [Σj=0n-1 (aj+2aj+1)10j ]+ 2a0

Multiplicación por 6

Definiendo

bj = aj/2, donde / denota división entera

cj = aj mod 2

tenemos

aj = 2bj + cj

(6)a = (10/2)Σai10i  + Σai10i =

Σbi10i+1 + Σ(ai + 5ci)10i

bn10n+1 + [Σj=1n(aj + 5cj + bj-1)10j ]+ (a0 + 5c0)

Expresando el algoritmo en python:

def x6(number):
previous = 0
result = 0
power_of_10 = 1
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result =
(digit + odd_term + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = previous * power_of_10 + result
return result




Multiplicación por 7



De manera similar al caso anterior:




aj = 2bj + cj



(7)a = (10/2)Σai10i  + Σ2ai10i =



Σbi10i+1 + Σ(2ai + 5ci)10i



bn10n+1 + [Σj=1n(2aj + 5cj + bj-1)10j ]+ (a0 + 5c0)




Expresando el algoritmo en python:



def x7(number):
previous = 0
result = 0
power_of_10 = 1
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result =
(2*digit + odd_term + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = previous * power_of_10 + result
return result


Multiplicación por 5



De manera similar al caso anterior:




aj = 2bj + cj



(5)a = (10/2)Σai10i   =



Σbi10i+1 + Σ(5ci)10i



bn 10n+1 + [Σj=1n(5cj + bj-1)10j ]+ (5c0)




Expresando el algoritmo en python:



def x5(number):
previous = 0
result = 0
power_of_10 = 1
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result =
(odd_term + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = previous * power_of_10 + result
return result


Multiplicación por 9



Definiendo




b = 10n+1 - Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a




tenemos




(9)a = 10a –a =



10a –a + b – b =



10a + b - 10n+1 =



(an – 1)10n+1 + [Σj=1n(bj + aj-1)10j ]+ (b0 )




Expresando el algoritmo en python:



def x9(number):
previous = number%10
result = 10 - previous
power_of_10 = 10
number = number // 10
while (number):
digit = number%10
result =
(9 - digit + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result =
(previous-1) * power_of_10 +
result
return result


Multiplicación por 8



Definiendo




b = 10n+1 - Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a




tenemos




(8)a = 10a –2a =



10a –2a +2 b – 2b =



10a + 2b – (2)10n+1 =



(an – 2)10n+1 + [Σj=1n(2bj + aj-1)10j ]+ (2b0 )




Expresando el algoritmo en python:



def x8(number):
previous = number%10
result = 2*(10 - previous)
power_of_10 = 10
number = number // 10
while (number):
digit = number%10
result =
(2*(9 - digit) + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result =
(previous-2) *
power_of_10 + result
return result


Multiplicación por 3 y por 4



Los algoritmos para multiplicar por 3 y por 4 combinan las ideas usadas en la multiplicación por 5 y por 9.



Definiendo




b = 10n+1 - Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a



ai = 2ci + di, donde



ci = ai/2



di = ai mod 2




tenemos




(4)a = 5a –a =



10c + 5d + b - 10n+1



(3)a = 5a –2a =



10c + + 5d + 2b – (2)10n+1




Expresando los algoritmos en python:



def x3(number):
digit = number%10
result = 2*(10 - digit)
if digit % 2:
result += 5
previous = digit // 2
power_of_10 = 10
number = number // 10
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result +=(2*(9 - digit) + odd_term + previous ) * power_of_10
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = (previous-2) * power_of_10 + result
return result

def x4(number):
digit = number%10
result = (10 - digit)
if digit % 2:
result += 5
previous = digit // 2
power_of_10 = 10
number = number // 10
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result +=((9 - digit) + odd_term + previous ) * power_of_10
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = (previous-1) * power_of_10 + result
return result


Referencias








2009-08-07

Aritmética y memoria; 513 Sticker

 

Es posible mediante el ejercicio de la memoria acelerar cálculos aritméticos. Este es un patrón general que también se aplica a la implementación algorítmica.

Por ejemplo, al multiplicar números de dos dígitos tenemos

a1a0 x b1b0 = (10a1+a0)(10b1+bo)=

100a1b1+10(a1bo+a0b1)+a0bo

Al multiplicar números de tres dígitos tenemos

a2a1a0 x b2b1b0 = (100a2+10a1+a0)(100b2+10b1+bo)=
10000a2b2 + 1000(a2b1+a1b2) +
100(a2b0+a1b1+a0b2) + 10(a1bo+a0b1)+a0bo

Si recordamos las fórmulas podemos encontrar los dígitos del producto directamente.

Al calcular el cuadrado de un número de 2 dígitos

(a1a0 )2 = (10a1+a0)2=
100a12+10(2a1a0)+a02

Al calcular el cuadrado de un número que termina en 1

(a11 )2 = (10a1+1)2=
100a12+10(2a1)+1

Al calcular el cuadrado de un número que termina en 5

(a15 )2 = (10a1+5)2=
100(a12+a1) + 25=
100a1(a1+1) + 25

Al calcular el cuadrado de un número que empiezan en 5

(5a0 )2 = (50 + a0)2=
100(25 +a0) + a02

Al calcular el productos de números de tres dígitos que empiezan con 1

(1a1 a0)(1b1b0) =
(100 + 10a1 + a0)(100 + 10 b1 + b0) =
10000 + 1000(a1 + b1) + 100(a1b1 +  a0 +  b0) +
10(a1b0 + a0b1) + a0b0

Multiplicar un número menor que 100 por 99

(a)(99) = 100 (a – 1)  + (100 – a)

Referencias